Ingo, da musst du beachten, dass es hier zwei Rechtsgebiete zu beackern gilt. Hier eine vereinfachte Darstellung:

Die Anzeige beim Ordnungsamt verfolgt das Ordnungsamt zunächst selber. Sollte ein Verschulden des Nachbarn vorliegen, wird ein Buß- bzw. Ordnungsgeld verhängt. Davon hast du privat zunächst einmal gar nichts, denn diese Dinge spielen sich im öffentlichen Recht ab. (So auch, wenn du Anzeige bei der Polizei erstattest.)

Wenn du die Kosten für Tierarzt, Medikamente etc. ersetzt haben willst, musst du zivilrechtlich gegen den Nachbarn vorgehen, d.h. beim Amtsgericht auf Schadenersatz klagen. Sollte ein Verfahren eröffnet werden, würde ein verhängtes Buß-/Ordnungsgeld ggf. als Indiz für die Begründetheit deiner Zivilklage herangezogen.

Rechtsanwälte gibt es in Hückelhoven reichlich. Du solltest einen Anwalt nehmen, der mit Schwerpunkt Privatrecht/Ordnungsrecht arbeitet. Das kannst du über die Gelben Seiten im Internet herausfinden. Erkundige dich auch bei deiner Rechtsschutzversicherung, ob sie ggf. die Kosten übernimmt, sie kann dir auch einen entsprechenden Anwalt empfehlen. Du solltest das auch alles zeitnah erledigen.

Viel Erfolg